О неслучайности случайности

Начну тему с такой весьма полезной для практики «штуки» - псевдослучайных чисел.

Последовательность неслучайных чисел называется псевдослучайной, если она обладает всеми свойствами случайной последовательности. Последовательность неслучайных чисел называется квазислучайной, если её можно использовать в методах Монте-Карло вместо случайной. При этом метод может работать лучше, чем со случайной последовательностью.

Немного отвлекусь от основной темы и покажу маленький фрагмент вводной лекции по теории чисел. Лектор, хоть и классный профессионал, но и юмора ему не занимать.

«…В начале семидесятых годов нашего двадцатого века американское космическое агентство NASA, получив от Конгресса США несколько скорей всего миллиардов долларов (примечание переводчика) , решило осуществить запуск исследовательского спутника на Юпитер. Спутник склепали, напичкали дорогостоящей аппаратурой, назвали "Пионер" (лектору в этом месте рекомендуется характерный жест правой рукой наискосок об лоб), и запустили вверх. Для успешного управления дальнейшим полетом увороченного агрегата, ежику понятно, необходимо было постоянно перерасчитывать его траекторию, корректируя ее от случайных возмущений и целя в Юпитер, который, между прочим, хоть и большой, но летает от нас на расстоянии более 100 миллионов километров, поэтому попасть в него ужасно трудно.

Знатоки знают, что для расчета подобных траекторий нужно решать систему дифференциальных уравнений, которую не то что решать, а даже и писать-то не хочется, настолько она сложна и огромна. Но Пионер-то уже летит, как фанера над Парижем, а Конгресс внимательно следит за расходом средств налогоплательщиков, поэтому специалисты NASA вынуждены считать эти чертовы многомерные интегралы, причем в режиме именно реального времени . "В режиме именно реального времени " – это означает, что интеграл надо успеть посчитать до того, как спутник улетит вместо Юпитера в деревню Пропадайлово.

Знатоки опять знают, что единственный известный сегодня быстрый способ вычисления таких интегралов с использованием ЭВМ — это метод Монте-Карло (а это такой город, в отличие от Бойля-Мариотта). Далее буду краток. Монте-Карло нужно многократное случайное бросание точки в многомерную область. Электронная машина не умеет генерировать случайные, так как она работает по программе, написанной заранее на языке FORTRAN (помните, был такой). FORTRAN разработали специально для запуска пионеров и вставили в него датчик (от слова "давать") случайных чисел RND(n), который, работая по некоторой наспех созданной схеме, выдавал последовательность "квазислучайных" чисел из отрезка [0; 1], равномерно на нем распределенную. Все было здорово.

Беда началась тогда, когда эти "квазислучайные" начали объединять в пары, тройки, и т. д., чтобы получить координаты "случайной" точки многомерной области. RND(n) оказался составленным настолько неудачно, что 60% "случайных" точек из единичного квадрата на плоскости (всего-то двухмерная область !) попадали в его нижнюю половину (а это даже в боксе — неэтично)! Монте-Карло не сработал, спутник промазал мимо Юпитера всего на каких-то 20 миллионов километров, и несколько скорей всего миллиардов долларов (примечание переводчика) вылетели в трубу.

Мораль: когда теоретик-числовик из заоблачных высот на несколько минут спускается на землю для сообщения процедуры получения случайных чисел с помощью эффектной цепочки делений и взятия остатков, убейте его сразу — дешевле будет. Народнохозяйственное применение теории чисел здесь очевидно: она должна выдать такую процедуру получения случайных чисел, чтобы мы могли спокойно и спутники запускать, и землю пахать, и напильники коллекционировать…»

Приведу один из корректных методов вычисления квазислучайных чисел. Это метод серединных произведений:

Число R0 умножается на R1, из полученного результата R2 извлекается середина R2* (это очередное случайное число) и умножается на R1. По этой схеме вычисляются все последующие случайные .

А теперь расскажу немного об исследованиях мало кому известного чудака, математика по образованию, безусловно который занимается созданием т. н. «виртуальной космологии». Это Исаев Александр Васильевич. Он специалист в теории чисел. Вот вам небольшой отрывочек из его «Виртуальной космологии».

«Рассмотрим натуральное число N = 6.746.328.388.800, у которого количество целых делителей равно Т = 10080. Параметр Т – это так называемый тип N, причем понятие «тип » – одно из главных понятий в виртуальной космологии (где я придумал немало новых терминов, иначе, определенно просто невозможно (источник не известен) популярно, доступно излагать «математические» тексты). Взятое нами число N – особое, это первое число (в бесконечном ряду всех натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …), у которого тип Т впервые «дорос» до конкретного указанного значения Т = 10080, то есть у всех предыдущих натуральных чисел типы Т были меньше. Поэтому, чтобы не забыть об указанной особенности выбранного нами N, мы назовем его мощным числом. Очевидно, что мощных чисел немало в начале натурального ряда, однако потом, при мысленном движении вправо от единицы, мощные появляются все реже и реже. Для справок приведу первый десяток мощных чисел N = 2, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 180, 240 и, соответственно, их типов Т = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20 (сами проверьте меня на компьютере).